数学期望 交易中的数学期望是评估交易策略绩效的指标之一。 这种信奉数学期望（以及更多因素）的用户在文章“交易中的数学。 如 ...

数学期望
交易中的数学期望是评估交易策略绩效的指标之一。 这种信奉数学期望（以及更多因素）的用户在文章“交易中的数学。 如何估算交易结果”里进行了详细讨论。

但是我们现在对数学期望的概率定义感兴趣。 例如，我为您提供一个游戏，您有 10% 的机会赢得 100 杜卡特，有 90% 的机会输掉 10 杜卡特。 那么这种博弈游戏的数学期望将如下所示：E = 0.1 * 100 + 0.9 * (-10) = 1 杜卡特。 故此，我们可以用数学期望来判断预期回报。 举例，如果我们玩这个游戏 100 次，我们可以假设我们的初始本金可以增加 100 杜卡特。

直觉表明，数学期望越大，参与这样的游戏就越有趣。 例如，如果我们将游戏中的奖金增加到 200 杜卡特，那么数学期望也提升到 11，而 100 场比赛的预期盈利能力将增加到 1100 杜卡特。 如果数学期望值是 +100，奖金 500 会怎么样。 听起来像是一场梦！ 您同意这个说法吗？

如果是这样，今天是您一生中最快乐的日子之一。 因为我建议您无限地玩这个期望游戏。 试想一下，您将在一小时内（甚至更快）成为巨无霸级别的超级亿万富豪。

但玩这个游戏有一个小小的不便。 为了参与游戏，您应该支付少量入场费，例如 100 杜卡特。 好吧，这听起来有点卑鄙。 就算 50 杜卡特好了。 另一个想法，我为您提供特别折扣 — 您只需支付 25 杜卡特，我们就可立即开始这个精彩的游戏。

在您转账报名费时，我来告诉您此游戏的规则。 首先，您要猜抛硬币的结果：正面或反面。 然后我来抛一枚硬币，如果您猜对了，我会付给您 1 杜卡特。 第二次猜测还正确，将为您带来 2 杜卡特。 第三次猜测后，您将收到 4 杜卡特，依此类推 — 每回下一次猜测都是之前的奖金翻倍。 想象一下，经过五十次猜测，我将要付给您多少杜卡特。 一百次之后呢？ 这样的数字还没有被发明出来，与您赢得的奖金相比，世界上所有的财富都微不足道。

如果您在某次犯了错误，游戏就结束了。 您可以再次支付入场费，我们将从头开始游戏。

有些事情告诉我，没有人愿意和我玩这样的游戏。 为什么呢？ 一方面，我们有一个无限的数学期望：



另一方面，内心的声音表明，即使入场费是 25 杜卡特对于这样的无限游戏来说也太高了。 这种矛盾被称为 "圣彼得堡（St. Petersburg）悖论"。